Kapitel VI · Mathematik

Trigonometrie – beliebige Dreiecke

Sinus- und Kosinussatz: Seiten und Winkel in jedem Dreieck berechnen – nicht nur im rechtwinkligen.

📖 Buchseiten 160 – 189

In Kapitel III brauchtest du noch einen rechten Winkel. Jetzt geht es um beliebige Dreiecke: Mit dem Sinussatz und dem Kosinussatz berechnest du fehlende Seiten und Winkel – egal welche Form das Dreieck hat. Außerdem werden Sinus und Kosinus für alle Winkel (auch über 90°) am Einheitskreis erklärt.

Die Themen – erklärt mit Buch-Beispielen

Periodische Vorgänge

Ein Vorgang ist periodisch, wenn er sich immer wieder gleich wiederholt. Eine Funktion heißt periodisch, wenn f(x + p) = f(x) für alle x gilt. Die kleinste solche Zahl p ist die Periodenlänge.

📘 Beispiel aus dem Buch (S. 164)

Ein Kippbrunnen füllt sich und kippt alle 7 Sekunden – der Höhen-Graph wiederholt sich also mit der Periodenlänge 7 s (wie auch ein EKG sich periodisch wiederholt).

Sinus- und Kosinusfunktion

Am Einheitskreis (Radius 1) ist ein Punkt zum Winkel α gegeben durch P = (cos α | sin α). So lassen sich Sinus und Kosinus für jeden Winkel definieren – auch über 90° und für negative Winkel. Es gilt stets −1 ≤ sin α ≤ 1 und die Werte wiederholen sich mit der Periode 360°.

📘 Beispiel aus dem Buch (S. 166)

Die Gondel eines Riesenrads bewegt sich auf einer Kreislinie – ein periodischer Vorgang, den man mit Sinus und Kosinus beschreibt. Es gilt z. B. sin(360°) = sin(0°) = 0.

Sinussatz

In jedem Dreieck verhalten sich zwei Seiten zueinander wie die Sinuswerte der jeweils gegenüberliegenden Winkel:

a / sin α = b / sin β = c / sin γ

Gut, wenn eine Seite mit ihrem Gegenwinkel bekannt ist (Fälle wsw oder Ssw).

📘 Beispiel aus dem Buch (S. 170)

Ein 146 m breites Schloss: Aus dem Sehwinkel α (z. B. 50°) und der Breite lässt sich über den Sinussatz die Entfernung zum Schloss berechnen.

Kosinussatz

Das Quadrat einer Seite ist die Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten, vermindert um das doppelte Produkt dieser Seiten mal dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels:

a² = b² + c² − 2·b·c·cos α

Eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras (für α = 90° wird cos α = 0). Gut für die Fälle sws und sss.

📘 Beispiel aus dem Buch (S. 174)

Tunnellänge: Misst man zwei Strecken von A aus und den eingeschlossenen Winkel α, liefert der Kosinussatz die Länge der gegenüberliegenden Seite (des Tunnels).

Berechnungen an Dreiecken (welcher Satz wann?)

Ein Dreieck ist eindeutig bestimmt bei wsw, sws, sss oder Ssw (Winkel gegenüber der längeren Seite). Faustregel: bei sws/sss mit dem Kosinussatz starten, bei wsw/Ssw mit dem Sinussatz. Sind zwei Seiten und der Winkel gegenüber der kürzeren Seite gegeben, kann es 0, 1 oder 2 Lösungen geben.

📘 Beispiel aus dem Buch (S. 177)

sws: a = 4,2 cm, b = 3,5 cm, γ = 78°. Kosinussatz → c ≈ 4,9 cm; dann cos α → α ≈ 57,4°; und β = 180° − α − γ ≈ 44,6°.

Anwendungen (S. 180): Mit Sinus- und Kosinussatz löst man viele Vermessungs- und Navigationsaufgaben – Entfernungen über Sumpfgebiete, Tunnellängen, Peilwinkel beim Bergbau. Trick: immer zuerst eine saubere Planskizze zeichnen.

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Übungen – Training (S. 189)

Alle Aufgaben aus dem Buch. Erst selbst rechnen, dann „Lösung anzeigen". (Winkel auf eine Nachkommastelle gerundet.)

✅ Geprüft: Alle Lösungen wurden mit den Buchlösungen auf S. 230 abgeglichen und nachgerechnet.

🔷 Training – Runde 1

Berechne die fehlenden Seiten und Winkel des Dreiecks ABC.

a) a=1,5 m, c=2,3 m, β=40° b) a=2,7 cm, b=4,2 cm, c=3,9 cm c) b=2,05 m, β=30,3°, γ=105,4° d) b=7,8 km, c=3,5 km, γ=15,5°

a) (sws) Kosinussatz: b ≈ 1,5 m; dann α ≈ 40°, γ ≈ 100°.
b) (sss) Kosinussatz: α ≈ 38,7°, β ≈ 76,7°, γ ≈ 64,6°.
c) (wsw) α = 44,3°; Sinussatz: a ≈ 2,84 m, c ≈ 3,92 m.
d) (Ssw, zwei Fälle) sin β ≈ 0,5956 → β₁ ≈ 36,6° (α₁ ≈ 127,9°, a₁ ≈ 10,3 km) oder β₂ ≈ 143,4° (α₂ ≈ 21,1°, a₂ ≈ 4,7 km).

Bestimme alle Winkel α zwischen 0° und 360° (auf eine Nachkommastelle).

a) sin α = 0,4563 b) cos α = 0,6579 c) sin α = −0,5682

a) α ≈ 27,1° und 152,9°.
b) α ≈ 48,9° und 311,1°.
c) α ≈ 214,6° und 325,4° (sin negativ → 3. und 4. Quadrant).

Dreieck ABC (Fig. 1) mit a = 3,8 cm, c = 4,5 cm und der Seitenhalbierenden s_c = 4,5 cm. a) Berechne die Winkel und die Seite b. b) Berechne die Höhe h_c.

a) Zuerst im Teildreieck DBC die Winkel: δ ≈ 57,5°, β ≈ 92,5°; dann b ≈ 6,0 cm, α ≈ 39,1° und γ ≈ 48,4°.
b) h_c ≈ 3,8 cm.

Aufbau (Lage von s_c, D) gemäß Skizze (Fig. 1) im Buch.

Dreieck ABC mit a = 8,1 cm, c = 5,2 cm und α = 24,9°. a) Berechne Umfang U und Flächeninhalt A. b) Berechne die Seitenhalbierende s_b.

a) b ≈ 12,5 cm → U = a + b + c ≈ 25,8 cm; A ≈ 13,8 cm².
b) s_b ≈ 2,7 cm.

Zwei waagerechte Stollen gehen von Punkt A aus und schließen den Winkel α = 73° ein. Der erste hat die Länge AB = 480 m, der zweite AC = 350 m. a) Wie lang wird ein Verbindungsstollen von B nach C? b) Unter welchen Winkeln gegen AB und AC muss er vorgetrieben werden?

a) Kosinussatz: BC = √(480² + 350² − 2·480·350·cos 73°) ≈ 505 m.
b) Sinussatz: Winkel bei B ≈ 41,5°, Winkel bei C ≈ 65,5°.

🔵 Training – Runde 2

Berechne die fehlenden Seiten und Winkel des Dreiecks ABC.

a) b=2,5 cm, α=44,3°, γ=105,4° b) b=4,7 cm, c=3,5 cm, γ=15,5° c) a=2,26 m, b=1,13 m, α=47,3° d) a=3,04 m, β=22,6°, γ=97,2°

a) (wsw) β = 30,3°; Sinussatz: a ≈ 3,5 cm, c ≈ 4,8 cm.
b) (Ssw, zwei Fälle) sin β ≈ 0,3589 → β₁ ≈ 21,0° (α₁ ≈ 143,5°, a₁ ≈ 7,8 cm) oder β₂ ≈ 159,0° (α₂ ≈ 5,5°, a₂ ≈ 1,3 cm).
c) sin β ≈ 0,3674 → β ≈ 21,6°, γ ≈ 111,1°, c ≈ 2,87 m.
d) (wsw) α = 60,2°; Sinussatz: b ≈ 1,35 m, c ≈ 3,48 m.

Bestimme alle Winkel α zwischen 0° und 360°.

a) cos α = 0,7531 b) sin α = 0,5493 c) cos α = −0,2873

a) α ≈ 41,1° und 318,9°.
b) α ≈ 33,3° und 146,7°.
c) α ≈ 106,7° und 253,3° (cos negativ → 2. und 3. Quadrant).

Stimmt die Behauptung? Begründe mit dem Einheitskreis (ohne Taschenrechner).

a) sin(35°) = −sin(215°) b) cos(−35°) = cos(395°) c) cos(55°) = cos(125°) d) sin(35°) = cos(125°) e) sin(−115°) = cos(155°) f) cos(225°) = sin(405°)

a) wahr – sin(215°) = sin(180°+35°) = −sin 35°.
b) wahr – cos(−35°)=cos 35° und cos(395°)=cos 35°.
c) falsch – cos(125°) = −cos 55°.
d) falsch – cos(125°) = −sin 35°, nicht +sin 35°.
e) wahr – beide ≈ −0,906.
f) falsch – cos(225°) = −√2⁄2, sin(405°) = +√2⁄2.

Symmetrisches Trapez ABCD (Fig. 3): Welchen Winkel ε bilden die Diagonalen e und f miteinander, wenn a) Seite a dreimal so lang wie c ist (a, b gleich lang); b) a doppelt so lang wie b und c halb so lang wie b ist?

Ansatz: Im symmetrischen Trapez die Diagonalenlängen und die Teildreiecke über Sinus-/ Kosinussatz bestimmen; daraus den Schnittwinkel ε der Diagonalen berechnen.

Diese Aufgabe hängt an der Skizze und den Maßverhältnissen (Fig. 3) im Buch.