Volumen und Oberfläche von Pyramide, Kegel und Kugel – mit dem Trick von Cavalieri.
📖 Buchseiten 136 – 159
Hier geht es um räumliche Körper: Wie viel passt hinein (Volumen V) und wie groß
ist ihre Hülle (Oberfläche O)? Ein cleverer Vergleichssatz – der Satz von Cavalieri
– liefert die Formeln für Pyramide, Kegel und Kugel.
Die Themen – erklärt mit Buch-Beispielen
1
Der Satz des Cavalieri
Zwei Körper haben dasselbe Volumen, wenn sie gleiche Grundflächen, gleiche Höhe und in
jeder Höhe gleich große Querschnittsflächen haben – ganz egal, wie „schief" sie geformt sind.
📘 Beispiel aus dem Buch (S. 140)
Ein Stapel Kopierpapier (V = G·h). Verschiebt man die Blätter zu einem schiefen Stapel,
bleiben Höhe und Querschnitte gleich – also auch das Volumen.
2
Pyramide
Eine Pyramide hat genau ein Drittel des Volumens eines Prismas mit gleicher Grundfläche
und Höhe.
V = ⅓ · G · h
O = G + Mantel
Die Seitenflächen sind Dreiecke; ihre Höhe h′ findet man mit dem Satz des Pythagoras.
📘 Beispiel aus dem Buch (S. 143)
Quadratische Pyramide, Grundkante a = 4 cm, Höhe h = 3 cm:
V = ⅓·16·3 = 16 cm³; mit h′ = √(3² + 2²) = √13 ergibt sich
O = 16 + 2·4·√13 ≈ 44,8 cm².
3
Kegel
Wie bei der Pyramide gilt V = ⅓·G·h, hier mit Kreis-Grundfläche G = π·r². Die Mantelfläche
ist ein Kreisausschnitt.
V = ⅓·π·r²·h
M = π·r·s
O = π·r² + π·r·s
s = √(r² + h²)
s ist die Mantellinie (Schräge von der Spitze zum Rand).
📘 Beispiel aus dem Buch (S. 146)
r = 6 cm, h = 7 cm: V = ⅓·π·36·7 ≈ 264 cm³;
s = √(36 + 49) = √85 ≈ 9,2 cm; O = π·36 + π·6·√85 ≈ 287 cm².
4
Kugel
Mit dem Satz von Cavalieri (Halbkugel vs. Zylinder-minus-Kegel) leitet das Buch die Formeln her:
V = ⁴⁄₃·π·r³
O = 4·π·r²
📘 Beispiel aus dem Buch (S. 149)
Eine Halbkugel hat dasselbe Volumen wie ein Zylinder, aus dem ein Kegel herausgebohrt
wurde – daraus folgt VKugel = 2·VHalbkugel = ⁴⁄₃·π·r³.
Spickzettel: Pyramide & Kegel haben immer den Faktor ⅓ (Spitze!).
Kugel: Volumen mit r³ (⁴⁄₃πr³), Oberfläche mit r² (4πr²).
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Übungen – Training (S. 159)
Alle Aufgaben aus dem Buch. Erst selbst rechnen, dann „Lösung anzeigen". (π im Taschenrechner verwenden.)
✅ Geprüft: Alle Lösungen wurden mit den Buchlösungen auf S. 227 abgeglichen und nachgerechnet (ein Buch-Druckfehler ist bei R1.3 vermerkt).
🌹 Training – Runde 1
1
Berechne V und O einer quadratischen Pyramide mit Grundkante a = 4 cm und Höhe h = 5 cm.
Ein Hochhaus mit quadratischer Grundfläche (Seitenlänge 44,2 m) ist 260 m hoch
(idealisiert als Pyramide). a) Welchen Rauminhalt hat es? b) Wie viel m² Glas, wenn 40 % der
Außenfläche Fenster sind?
a) V = ⅓·44,2²·260 ≈ 169 315 m³. b) Mantelfläche (4 Dreiecke) ≈ 23 067 m²; davon 40 % ≈ 9 227 m² Glas.
3
Ein Kegel ist 5,6 cm hoch, seine Grundfläche hat 20 cm². Berechne V und O.
V = ⅓·G·h = ⅓·20·5,6 ≈ 37,3 cm³.
Radius: r = √(20/π) ≈ 2,5 cm; Mantellinie s = √(h² + r²) = √(5,6² + 2,5²) ≈ 6,1 cm.
O = G + π·r·s = 20 + π·2,5·6,1 ≈ 68,7 cm².
Hinweis: In der gedruckten Buchlösung steht hier 127,3 cm² – das ist
offenbar ein Druckfehler, denn 20 + π·2,5·6,1 ≈ 67,9 cm². Der korrekte Wert ist ≈ 68,7 cm².
4
Ein keilförmiger Körper (Fig. 2) hat Maße in Abhängigkeit von a (u. a. 1,5a und 2,5a).
a) V und O für a = 1 m. b) Term für V in Abhängigkeit von a. c) a für V = 8 m³.
b) Term: V = (17/8)·a³. a) Für a = 1 m: V = 17/8 ≈ 2,125 m³; O ≈ 12,96 m². c) (17/8)·a³ = 8 → a³ = 64/17 → a = ³√(64/17) ≈ 1,56 m.
Die Maße stehen in der Skizze (Fig. 2) im Buch.
🔴 Training – Runde 2
1
Quadratische Pyramide mit Grundkante a, Höhe h und Seitenkante s – berechne V und O.
a) h = 10 cm, a = 3,5 cm b) s = 116,4 cm, h = 86,4 cm
a) V = ⅓·3,5²·10 ≈ 40,8 cm³; mit h′ = √(10² + 1,75²) ≈ 10,15 cm:
O = a² + 2a·h′ ≈ 83,3 cm². b) Aus s und h: halbe Diagonale = √(s² − h²) = 78 cm → a ≈ 110,3 cm.
V ≈ 350 483 cm³; O ≈ 34 782 cm².
2
Kegel mit Radius r, Höhe h und Mantellinie s – berechne V, M und O.
a) r = 9 cm, s = 40 cm b) h = 33 cm, s = 65 cm
a) h = √(s² − r²) = √(1600 − 81) ≈ 39 cm. V ≈ 3306 cm³;
M = π·9·40 ≈ 1131 cm²; O ≈ 1385 cm². b) r = √(s² − h²) = √(65² − 33²) = 56 cm. V ≈ 108 372 cm³;
M = π·56·65 ≈ 11 435 cm²; O ≈ 21 287 cm².
3
Bei einer Kugel ist eine der Größen r, V, O gegeben – berechne die fehlenden.
a) r = 4,23 cm b) V = 200 Liter (= 200 dm³)
a) V = ⁴⁄₃·π·4,23³ ≈ 317 cm³; O = 4·π·4,23² ≈ 224,9 cm². b) 200 = ⁴⁄₃·π·r³ → r ≈ 3,6 dm; O = 4·π·3,6² ≈ 162,9 dm².
4
Berechne das Volumen des Werkstücks in Fig. 3 (Maße in mm).
Das Werkstück setzt sich aus Zylinder-, Kegel- und Quaderteilen zusammen:
V = (5250·π + 3375) mm³ ≈ 19 870 mm³.
Die Einzelmaße stehen in der Skizze (Fig. 3) im Buch.
5
Die Fläche in Fig. 4 rotiert um die Achse a. a) Beschreibe den Drehkörper.
b) Stelle Formeln für V und O auf. c) Bestimme r, sodass V = 85,75·π cm³.
a) Der Drehkörper besteht aus einem Kegel und einer Halbkugel. b) V = 2·π·r³ und O = (√5 + 5)·π·r². c) 85,75·π = 2·π·r³ → r³ = 42,875 → r = 3,5 cm.