Kapitel IV · Mathematik

Potenzen und Funktionen

Mit Hochzahlen rechnen – von Wurzeln über Hyperbeln bis zum exponentiellen Wachstum.

📖 Buchseiten 100 – 135

Eine Potenz wie aⁿ ist eine Kurzschreibweise für wiederholtes Multiplizieren. In diesem Kapitel lernst du die Potenzgesetze, gibst Wurzeln als Potenzen mit Brüchen im Exponenten an und untersuchst Potenz-, Hyperbel- und Exponentialfunktionen – die Bausteine, um Wachstum und Zerfall zu beschreiben.

Die Themen – erklärt mit Buch-Beispielen

1

Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

Es gilt a⁰ = 1 (für a ≠ 0) und a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Sehr große und sehr kleine Zahlen schreibt man in wissenschaftlicher Schreibweise: ein Faktor zwischen 1 und 10 mal eine Zehnerpotenz.

📘 Beispiel aus dem Buch (S. 104)

1 000 000 = 10⁶; 0,01 = 10⁻². 27 000 000 000 000 = 2,7 · 10¹³.

2

Potenzgesetze – gleiche Basis

aᵖ · aᵍ = aᵖ⁺ᵍ (multiplizieren → Exponenten addieren), aᵖ : aᵍ = aᵖ⁻ᵍ (dividieren → subtrahieren), (aᵖ)ᵍ = aᵖ·ᵍ (potenzieren → multiplizieren).

📘 Beispiel aus dem Buch (S. 107)

a⁵ · a³ = a⁸ und a⁷ : a⁴ = a³.

3

Potenzgesetze – gleicher Exponent

aᵖ · bᵖ = (a·b)ᵖ und aᵖ : bᵖ = (a/b)ᵖ. Bei gleichem Exponenten darf man also zuerst die Basen verrechnen.

📘 Beispiel aus dem Buch (S. 110)

0,25⁴ · 12⁴ = (0,25 · 12)⁴ = 3⁴ = 81.

4

Potenzen mit rationalen Exponenten (Wurzeln)

Brüche im Exponenten sind Wurzeln: a^(1/n) = ⁿ√a und allgemein a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) = (ⁿ√a)ᵐ – sinnvoll nur für eine positive Basis a.

📘 Beispiel aus dem Buch (S. 113)

3^(1/2) = √3, 3^(1/5) = ⁵√3 und z. B. 8^(2/3) = (³√8)² = 2² = 4.

5

Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Eine Funktion f(x) = a · xⁿ (n natürlich, n > 0) heißt Potenzfunktion n-ten Grades; hier ist die Basis variabel. Bei geradem n ist der Graph achsensymmetrisch (parabelartig), bei ungeradem n punktsymmetrisch zum Ursprung.

📘 Beispiel aus dem Buch (S. 118)

Das Volumen eines Würfels mit Kante k: V(k) = k³ – eine Potenzfunktion dritten Grades.

6

Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

f(x) = a · x⁻ⁿ = a/xⁿ. Der Graph ist eine Hyperbel aus zwei getrennten Ästen: nahe der y-Achse werden die Werte sehr groß, für große |x| nähern sie sich der x-Achse an.

📘 Beispiel aus dem Buch (S. 122)

Antiproportionaler Zusammenhang f(x) = 6/x = 6·x⁻¹ (z. B. Anziehungskraft, die mit dem Abstand abnimmt).

7

Exponentialfunktionen

Bei f(x) = qˣ (q > 0, q ≠ 1) steht die Variable im Exponenten – das ist der Unterschied zur Potenzfunktion. Pro Schritt wird mit demselben Faktor q multipliziert → typisch für Wachstum (q>1) und Zerfall (q<1).

📘 Beispiel aus dem Buch (S. 126)

Bakterien verdoppeln sich stündlich: b(n) = 2ⁿ. Nach 3 Stunden sind es 2³ = 8 (Millionen), nach einer halben Stunde 2^(0,5) ≈ 1,41.

Merke den Unterschied: Bei der Potenzfunktion xⁿ ist die Basis variabel, bei der Exponentialfunktion qˣ der Exponent. Deshalb wächst eine Exponentialfunktion auf Dauer schneller als jede Potenzfunktion.

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Übungen – Training (S. 135)

Alle Aufgaben aus dem Buch. Erst selbst rechnen, dann „Lösung anzeigen".

✅ Geprüft: Alle Lösungen wurden mit den Buchlösungen auf S. 224/225 abgeglichen und stimmen überein.
🟣 Training – Runde 1
1
Berechne.
a) 5·3⁻² b) 4²·(−8) c) 5 + 2·(−3)⁴ d) 10 + 4·(−2)⁻³ e) 14 − 3·(3/5)⁻³
a) 5·(1/9) = 5/9   b) 16·(−8) = −128   c) 5 + 2·81 = 167
d) 10 + 4·(−1/8) = 10 − 0,5 = 19/2   e) 14 − 3·(5/3)³ = 14 − 125/9 = 1/9
2
Vereinfache.
a) a⁴·a⁵ b) (−2x²y⁻³)³ c) (u⁵·v⁻²)/(v⁵·u³) d) (a^(5/4) : y^(−5/8))^(−4/5)
a) a⁹   b) −8x⁶y⁻⁹   c) u²v⁻⁷   d) a⁻¹·y^(−1/2)
3
Schreibe als Potenz und vereinfache so weit wie möglich.
a) ⁴√(4²) b) ³√(6⁻⁶) c) ⁴√(³√9) d) √(2√2) e) ³√(√(1/25))
a) 4^(2/4) = 4^(1/2) = 2   b) 6⁻² = 1/36   c) 9^(1/12) = 3^(1/6) = ⁶√3
d) 2^(3/4) = ⁴√8   e) (1/25)^(1/6) = 5^(−1/3) = 1/³√5
4
Ordne den vier Graphen in Fig. 1 jeweils eine Gleichung zu: y = −x⁴, y = 5/x, y = 0,5x³, y = 2x⁻⁴.
f (steil nach oben/unten, Parabel 4. Ordnung nach unten) = y = −x⁴; g = y = 0,5x³ (punktsymmetrisch); h = y = 2x⁻⁴ (Hyperbel, beide Äste oben); k = y = 5/x (Hyperbel, gegenüberliegende Äste).
5
Der Graph der Potenzfunktion h(x) = a·x⁻² verläuft durch P(5 | 4). Bestimme a.
4 = a·5⁻² = a/25 → a = 100, also h(x) = 100/x².
6
Der Graph der Exponentialfunktion f(x) = a·qˣ verläuft durch P und Q. Bestimme q und a.
a) P(0|6), Q(1|2) b) P(2|1), Q(5|27) c) P(0|4), Q(2|1) d) P(−2|5), Q(2|20)
a) a = 6; 6q = 2 → q = ⅓ → f(x) = 6·(1/3)ˣ.
b) q³ = 27 → q = 3; a = 1/9 → f(x) = (1/9)·3ˣ.
c) a = 4; 4q² = 1 → q = ½ → f(x) = 4·(1/2)ˣ.
d) q⁴ = 20/5 = 4 → q = √2; a = 10 → f(x) = 10·(√2)ˣ.
🟪 Training – Runde 2
1
Drei würfelförmige Bauklötze mit den Volumina 300 cm³, 120 cm³ und 60 cm³ werden aufeinandergestellt. Wie hoch ist der Turm?
Kantenlänge eines Würfels = ³√V. Höhe = ³√300 + ³√120 + ³√60 ≈ 6,69 + 4,93 + 3,92 ≈ 15,54 cm.
2
Die Graphen in Fig. 2 sind Parabeln dritter Ordnung (f, g, h). a) Gleichungen bestimmen. b) Für welchen x-Wert ist der Funktionswert 2? c) Exakter x-Wert für f?
a) f(x) = x³, g(x) = 2x³, h(x) = −0,25x³.
b) f(x) = 2 bei x ≈ 1,3; g(x) = 2 bei x = 1; h(x) = 2 bei x = −2.
c) Exakt: x³ = 2 → x = ³√2 (≈ 1,26).
3
a) Zeichne die Hyperbeln h(x)=x⁻², k(x)=x⁻²−1, l(x)=(x+3)⁻², m(x)=(x+3)⁻²−2, p(x)=−0,5x⁻². b) Liegen P(0,5 | −2) und Q(5 | −0,1) auf dem Graphen von p?
b) p(x) = −0,5/x². p(0,5) = −0,5/0,25 = −2 → P liegt auf p. p(5) = −0,5/25 = −0,02 ≠ −0,1 → Q liegt nicht auf p.
(k, l, m sind h um 1 nach unten, 3 nach links bzw. beides verschoben.)
4
Eine Bevölkerung wächst jährlich um 2,7 %. 2015 waren es 14 Mio. a) Erwartete Zahl 2025? b) Wann ist sie auf das Eineinhalbfache gestiegen? c) Beantworte a) und b) für eine jährlich gleich bleibende Zunahme von 2,7 % der Zahl von 2015.
Exponentiell (Faktor q = 1,027): a) 14·1,027¹⁰ ≈ 18,27 Mio. b) 1,027ⁿ = 1,5 → n = log(1,5)/log(1,027) ≈ 15,2 Jahre (≈ 15 J. 80 Tage).
c) Lineares Wachstum: jährliche Zunahme 0,027·14 ≈ 0,378 Mio. a) 14 + 10·0,378 ≈ 17,78 Mio. b) bis +7 Mio: 7/0,378 ≈ 18,5 Jahre.