Kapitel III · Mathematik

Trigonometrie – rechtwinklige Dreiecke

Mit Winkeln rechnen: Sinus, Kosinus und Tangens verbinden Seiten und Winkel.

📖 Buchseiten 74 – 99

In einem rechtwinkligen Dreieck hängen Seitenlängen und Winkel fest zusammen. Mit Sinus, Kosinus und Tangens kannst du aus wenigen bekannten Größen alle übrigen berechnen – das steckt hinter Rampen, Dächern, Skipisten und sogar dem Gleitflug eines Drachenfliegers.

α Hypotenuse Ankathete von α Gegenkathete von α
Die längste Seite (gegenüber dem rechten Winkel) ist die Hypotenuse. Bezogen auf α gibt es die Gegenkathete (gegenüber) und die Ankathete (anliegend).

Die Themen – erklärt mit Buch-Beispielen

1

Sinus

Der Sinus eines spitzen Winkels α ist das Verhältnis sin α = Gegenkathete / Hypotenuse. Weil ähnliche Dreiecke gleiche Seitenverhältnisse haben, hängt dieser Wert nur vom Winkel ab. Da die Kathete kürzer als die Hypotenuse ist, gilt immer 0 < sin α < 1.

📘 Beispiel aus dem Buch (S. 78)

Die Stützrampe einer Achterbahn: Der Steigungswinkel α darf höchstens 40° sein. Über sin α = Höhe / Rampenlänge lässt sich prüfen, wie hoch die Rampe bei gegebener Länge werden darf.

2

Kosinus und Tangens

cos α = Ankathete / Hypotenuse und tan α = Gegenkathete / Ankathete. Kennt man den Winkel, liefert der Taschenrechner den Wert. Umgekehrt findet man aus einem Verhältnis den Winkel mit den Umkehrfunktionen arcsin, arccos, arctan (Taste sin⁻¹ usw.).

📘 Beispiel aus dem Buch (S. 83)

Steile Skipiste: cos 35° ≈ 0,82. Umgekehrt gehört zu cos α = 0,2 der Winkel α = arccos(0,2) ≈ 78,5°.

3

Berechnungen an Figuren

Viele Figuren enthalten versteckte rechtwinklige Teildreiecke. Man fertigt eine Planskizze an, ergänzt nötige Hilfslinien und rechnet mit den Seitenverhältnissen, dem Satz des Pythagoras und der Winkelsumme.

📘 Beispiel aus dem Buch (S. 88)

Fläche eines Parallelogramms mit Seiten a, b und Winkel α: Die Höhe ist h = b·sin α, also A = a·b·sin α. Für a = 6,5 cm, b = 3,5 cm, α = 62° ergibt sich A ≈ 20,1 cm².

4

Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens

Am Einheitskreis (Radius 1) liest man die Werte direkt ab. Es gelten zwei wichtige Beziehungen: der „trigonometrische Pythagoras" sin²α + cos²α = 1 und tan α = sin α / cos α. Außerdem sind Winkel und Gegenwinkel verbunden: sin α = cos(90° − α).

📘 Beispiel aus dem Buch (S. 92)

Besondere Werte vom Einheitskreis: sin 0° = 0, sin 90° = 1, cos 0° = 1, cos 90° = 0. (Riesenrad-Aufgabe: 60° bedeuten nicht die halbe Höhe!)

Eselsbrücke – GAGA HühnerHof: Sin = Gegenkathete/Hypotenuse, Cos = Ankathete/Hypotenuse, Tan = Gegenkathete/Ankathete.

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Übungen – Training (S. 99)

Alle Aufgaben aus dem Buch zum Selberrechnen. Erst auf Papier lösen, dann „Lösung anzeigen". Die Wortaufgaben sind sinngemäß wiedergegeben.

✅ Geprüft: Alle Lösungen wurden mit den Buchlösungen auf S. 219/220 abgeglichen und stimmen überein; die Werte zusätzlich nachgerechnet.
🟩 Training – Runde 1
1
Berechne im rechtwinkligen Dreieck PQR (rechter Winkel bei P) die fehlenden Seiten und Winkel.
a) x = 4,80 m, z = 6,40 m b) y = 12,5 km, δ = 64° c) z = 5,4 mm, ε = 25°
a) sin δ = x/z = 4,80/6,40 → δ ≈ 48,6°; ε = 90° − δ ≈ 41,4°; y = √(z² − x²) ≈ 4,2 m.
b) ε = 90° − δ = 26°; x = y·tan(64°) ≈ 25,6 km; z = √(x² + y²) ≈ 28,5 km.
c) δ = 90° − ε = 65°; x = z·cos(25°) ≈ 4,9 mm; y = z·sin(25°) ≈ 2,3 mm.
2
Symmetrisches Trapez mit h : b = 2 : 3. Berechne fehlende Seiten, Winkel und Fläche für a = 8,2 cm und b = 3,1 cm.
Höhe: h = ⅔·b = ⅔·3,1 ≈ 2,07 cm. Basiswinkel: sin β = h/b → β = α ≈ 41,8°.
Waagerechter Versatz: x = b·cos β ≈ 2,31 cm; kurze Parallele c = a − 2x ≈ 3,58 cm.
Fläche: A = ½·(a + c)·h ≈ 12,2 cm².
3
a) Zeige durch Umformen: 1 + tan²α = 1 / cos²α. b) Ergänze die Tabelle, ohne den Winkel α zu bestimmen.
sin α | 0,11 | ? | 0,82 | ? | ? | 0,168 cos α | ? | 0,73 | ? | 0,84 | 0,13 | ? tan α | ? | ? | 1,45 | ? | 7,63 | 0,17
a) tan²α = sin²α/cos²α, also 1 + tan²α = (cos²α + sin²α)/cos²α = 1/cos²α (weil sin²α + cos²α = 1). ✔
b) Mit cos α = √(1 − sin²α) und tan α = sin α / cos α (bzw. umgekehrt) ergibt sich:
sin α: 0,11 | 0,68 | 0,82 | 0,54 | 0,99 | 0,168
cos α: 0,99 | 0,73 | 0,57 | 0,84 | 0,13 | 0,986
tan α: 0,11 | 0,94 | 1,45 | 0,64 | 7,63 | 0,17
🟦 Training – Runde 2
1
Berechne die farbig hervorgehobenen Größen.
a) gleichschenkliges Dreieck: Schenkel 6,5 cm, Basiswinkel 48° b) Quadrat-Figur mit M: Kathetenlängen 4,8 cm und 2,4 cm c) Rechteck 5 cm × 3 cm mit Diagonalen
a) Höhe h = 6,5·sin(48°) ≈ 4,8 cm; Basis s = 2·6,5·cos(48°) ≈ 8,7 cm.
b) tan α = 4,8/2,4 = 2 → α ≈ 63,4°; r = 4,8/sin α ≈ 5,4 cm.
c) tan(δ/2) = 3/5 = 0,6 → δ ≈ 61,9°; γ = 90° − δ/2 ≈ 59,05°.
2
Drachenflieger-Gleitflug: Start 1000 m über der Ebene. a) Durchschnittlicher Gleitwinkel bei einer Gleitstrecke (Flugweg) von 8,2 km? b) Wie lang ist die Gleitstrecke bei einem Gleitwinkel von 5°?
Höhe = Gegenkathete, Gleitstrecke = Hypotenuse: sin α = Höhe / Gleitstrecke.
a) sin α = 1000/8200 ≈ 0,122 → α = arcsin(0,122) ≈ 7,0°.
b) Gleitstrecke = 1000 / sin(5°) ≈ 11 474 m ≈ 11,5 km.
Stimmt mit der Buchlösung auf S. 220 überein.
3
Symmetrischer Hausgiebel, 7,20 m breit, Dachneigung 42,5°. Wie lang müssen die tragenden Balken sein, wenn sie 1,20 m über den Auflagepunkt hinausragen?
Halbe Breite = 3,60 m (Ankathete): Teil von A bis First = 3,60 / cos(42,5°) ≈ 4,88 m. Mit 1,20 m Überstand: Balken ≈ 6,08 m.
Stimmt mit der Buchlösung auf S. 220 überein.
4
Drei Flächendiagonalen eines Würfels bilden ein gleichseitiges Dreieck UVW. Bestimme den Neigungswinkel α, den dieses Dreieck mit der Grundfläche einschließt.
Über das passende rechtwinklige Teildreieck (Kantenlänge a) gilt tan α = a / (½·a·√2) = √2 → α = arctan(√2) ≈ 54,7°.