Von der Parabel bis zur pq-Formel – Kurven, die Würfe, Flächen und Optimierung beschreiben.
📖 Buchseiten 32 – 73
Sobald in einer Funktion ein x² auftaucht, ist der Graph keine Gerade mehr, sondern
eine Parabel. In diesem Kapitel lernst du, Parabeln zu verschieben und zu beschreiben,
quadratische Gleichungen mit der pq-Formel zu lösen und damit echte Probleme zu knacken –
etwa „Wie groß kann eine eingezäunte Fläche höchstens werden?" oder „Wann landet ein geworfener
Stein im Wasser?".
Die Themen – erklärt mit Buch-Beispielen
1
Rein quadratische Funktionen
Eine Funktion f(x) = a·x² heißt rein quadratische Funktion. Ihr
Graph ist eine Parabel. Der Faktor a bestimmt, ob sie nach oben (a>0) oder unten
(a<0) geöffnet ist und wie schmal/breit sie verläuft.
📘 Beispiel aus dem Buch (S. 36)
Ein Stein fällt in einen Brunnen. Die Fallstrecke folgt h(t) = 5·t²:
nach 1 s sind es 5 m, nach 2 s schon 20 m. Die Werte liegen nicht auf
einer Geraden – verbindet man sie, entsteht eine Parabel.
2
Verschobene Parabeln
Die Normalparabel y = x² lässt sich verschieben:
y = x² + e verschiebt um e nach oben (Scheitel S(0|e)),
y = (x − d)² verschiebt um d nach rechts (Scheitel S(d|0)).
📘 Beispiel aus dem Buch (S. 40)
y = x² + 1 ist die Normalparabel um 1 nach oben (Scheitel (0|1)),
y = (x − 1)² um 1 nach rechts (Scheitel (1|0)).
3
Scheitelform und allgemeine Form
Scheitelformf(x) = a(x − d)² + e – hier liest man den
Scheitel S(d|e) direkt ab. Allgemeine Formf(x) = ax² + bx + c
– hier liest man den y-Achsenschnittpunkt (0|c) ab. Umrechnen: Ausmultiplizieren
(Scheitelform → allgemeine Form) bzw. quadratische Ergänzung (allgemeine Form → Scheitelform).
Eine quadratische Gleichung bringt man auf die Normalformx² + px + q = 0. Ihre Lösungen sind die Nullstellen der
Parabel f(x) = x² + px + q. Eine quadratische Gleichung hat
zwei, eine oder keine Lösung – je nachdem, ob die Parabel die x-Achse zweimal, einmal
oder gar nicht trifft.
📘 Beispiel aus dem Buch (S. 50)
x² − 2x = 3 → Normalform x² − 2x − 3 = 0.
Die Parabel hat den Scheitel S(1|−4) und schneidet die x-Achse bei
x = −1 und x = 3.
5
pq-Formel
Die Lösungen von x² + px + q = 0 berechnet man mit der
pq-Formel: x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q).
Der Term unter der Wurzel ist die Diskriminante D: ist D>0 → zwei Lösungen,
D=0 → eine Lösung, D<0 → keine Lösung.
Kennt man die Nullstellen x₁ und x₂, lässt sich der Term zerlegen:
x² + px + q = (x − x₁)(x − x₂). Es gilt der
Satz von Vieta: x₁ + x₂ = −p und
x₁ · x₂ = q.
📘 Beispiel aus dem Buch (S. 58)
x² + 4x − 12: gesucht sind zwei Zahlen mit Produkt −12 und
Summe −4 → das sind 2 und −6. Also x² + 4x − 12 = (x − 2)(x + 6),
Nullstellen 2 und −6.
7
Problemlösen mit quadratischen Funktionen
Viele Probleme – besonders Optimierungsaufgaben („möglichst groß/klein") – löst man,
indem man die gesuchte Größe als quadratische Funktion aufstellt und den Scheitel
bestimmt. Vorgehen wie in Kapitel I: Verstehen → Zerlegen → Durchführen → Rückschau.
📘 Beispiel aus dem Buch (S. 60)
Mit 12 m Zaun soll an einer Hauswand ein Rechteck mit größter Fläche entstehen.
Mit Seite x gilt A(x) = x·(12 − 2x) = −2x² + 12x. Scheitel bei
S(3|18) → die Fläche wird bei x = 3 m am größten: 18 m².
8
Modellieren mit Funktionen
Reale Vorgänge beschreibt man vereinfacht durch ein mathematisches Modell. Eine
Wurf- oder Flugbahn ist näherungsweise eine Parabel (Modellannahme: Luftwiderstand
vernachlässigt). Man wählt einen Funktionstyp, rechnet damit und prüft das Ergebnis.
📘 Beispiel aus dem Buch (S. 64)
Die Flugbahn eines Tennisballs aus einer Wurfmaschine wird als Parabel modelliert, um zu
prüfen, ob die Bälle noch im Spielfeld landen.
Merke: Die Scheitelform verrät den höchsten/tiefsten Punkt sofort – perfekt für
Optimierung. Die pq-Formel findet die Nullstellen. Und Vieta hilft beim schnellen Zerlegen.
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Übungen – Training (S. 73)
Alle Aufgaben aus dem Buch zum Selberrechnen. Erst auf Papier lösen, dann
„Lösung anzeigen". Die Wortaufgaben sind sinngemäß wiedergegeben.
✅ Geprüft: Alle Lösungen (Runde 1 und 2) wurden mit den Buchlösungen auf S. 215–217 abgeglichen und stimmen überein; die Rechenaufgaben zusätzlich per Computer-Algebra kontrolliert.
🟧 Training – Runde 1
1
S ist der Scheitel einer verschobenen Normalparabel (a = 1). Bestimme die Funktionsgleichung in Scheitelform.
a) S(0 | 5,7) b) S(2,5 | −5)
c) S(1,25 | 1,1) d) S(−2,5 | −0,4)
Scheitelform y = (x − d)² + e mit S(d|e): a) y = x² + 5,7 b) y = (x − 2,5)² − 5 c) y = (x − 1,25)² + 1,1 d) y = (x + 2,5)² − 0,4
Stimmt mit der Buchlösung auf S. 215 überein.
2
Zeichne den Graphen. Tipp: bestimme zuerst Scheitel und Öffnung.
a) f(x) = ½(x + 2)² b) f(x) = −(x − 2)² + 3
c) f(x) = 2x² − 2,5 d) f(x) = x(x − 2)
a) Scheitel (−2 | 0), nach oben geöffnet, etwas breiter (a = ½). b) Scheitel (2 | 3), nach unten geöffnet. c) Scheitel (0 | −2,5), nach oben, schmaler (a = 2). d) = x² − 2x, Scheitel (1 | −1), Nullstellen bei 0 und 2.
3
Der Punkt P(3 | −6) liegt auf einer Parabel mit Scheitel S(1 | 2). a) Bestimme die Gleichung. b) Berechne die Nullstellen.
a) Ansatz Scheitelform: f(x) = a(x − 1)² + 2. P einsetzen:
−6 = a·(3 − 1)² + 2 → −6 = 4a + 2 → a = −2. Also
f(x) = −2(x − 1)² + 2 (= −2x² + 4x). b) −2(x − 1)² + 2 = 0 → (x − 1)² = 1 → x = 0 oder x = 2. Nullstellen: 0 und 2.
4
Rico wirft vom Ufer einen Stein ins Wasser. Seine Höhe über dem Wasser ist
h(t) = −0,4t² + 2t + 1,5 (h in Metern, t in Sekunden).
a) Aus welcher Höhe wirft er? b) Wann ist der Stein am höchsten und wie hoch? c) Wann fällt er etwa ins Wasser?
a) Abwurfhöhe = h(0) = 1,5 m. b) Scheitel bei t = −b/(2a) = −2/(2·(−0,4)) = 2,5 s; h(2,5) = 4 m. c) h(t) = 0 → −0,4t² + 2t + 1,5 = 0 → t ≈ 5,7 s (die negative Lösung entfällt).
Gib zu den vier Parabeln in der Abbildung (Fig. 1) jeweils die Gleichung an.
Vorgehen: Scheitel S(d|e) ablesen, Öffnung/Streckung bestimmen, in Scheitelform
y = a(x − d)² + e schreiben. Ergebnis: a) y = (x + 1)² − 4 b) y = (x − 3)² − 1 c) y = 2(x − 2)² − 3 d) y = −½x² + 2
Stimmt mit der Buchlösung auf S. 216 überein.
3
Bestimme, falls vorhanden, die Lösungen (zeichnerisch und rechnerisch).
a) x² = −4 → keine (reelle) Lösung (Parabel über der x-Achse). b) pq: x = −2,5 ± √(6,25 − 4) = −2,5 ± 1,5 → x = −1 und x = −4. c) (x − 3)² = 0 → x = 3 (eine Lösung). d) alles auf eine Seite: 3x² + 6x + 3 = 0 → x² + 2x + 1 = 0 → (x + 1)² = 0 →
x = −1 (eine Lösung). e) x − 5 = ±1 → x = 6 und x = 4.
4
Susi möchte für ihre vier Kaninchen in der Ecke zwischen Haus und Garage eine
Fläche einzäunen. Dafür hat sie ein 2 m breites Holztor und etwa 9 m
Maschendrahtzaun. Pro Kaninchen sollen mindestens 5 m² Grünfläche da sein.
a) Wie kann sie das Gehege anlegen, sodass alle Bedingungen erfüllt sind?
b) Ist das die größtmögliche Fläche? Begründe.
Mit Länge ℓ gilt für das Material: 9 = ℓ + (ℓ − 4) + (b − 2), also b = 15 − 2ℓ.
Fläche: A = ℓ·b = ℓ(15 − 2ℓ) = −2ℓ² + 15ℓ. a) Soll A = 20 m² sein: −2ℓ² + 15ℓ − 20 = 0 → ℓ ≈ 5,77 oder ℓ ≈ 1,73.
ℓ ≈ 1,73 m scheidet aus (an der Garage werden mind. 4 m gebraucht). Also:
Länge ≈ 5,77 m, Breite ≈ 3,47 m. b) Nein – das ist nicht das Maximum. Der Scheitel von A liegt bei ℓ = 3,75 m,
die größtmögliche Fläche ist 28,125 m². Susi könnte also mehr einzäunen.
Stimmt mit der Buchlösung auf S. 217 überein.
Rückblick (S. 72): Die Seite fasst alles zusammen – rein quadratische und allgemeine
Funktionen, Scheitel- und allgemeine Form, quadratische Ergänzung, pq-Formel, Diskriminante,
Vieta und Linearfaktoren. Genau diese Werkzeuge brauchst du in den Aufgaben oben.