Wie man zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt – und damit echte Alltagsrätsel löst.
📖 Buchseiten 4 – 31
In diesem Kapitel löst du Rätsel, bei denen zwei Dinge gleichzeitig stimmen müssen –
z. B. „Wie viele 4er- und 6er-Tische brauchen genau 36 Leute?" oder „Wie viele Mädchen
und Jungen sind in der Klasse?". Dafür lernst du Gleichungen mit zwei Unbekannten und
drei clevere Rechenwege kennen, um sie zu lösen.
Die Themen – erklärt mit Buch-Beispielen
1
Lineare Gleichung mit zwei Variablen
Eine Gleichung der Form a·x + b·y = c (a, b, c sind Zahlen).
Anders als eine Gleichung mit nur einer Unbekannten hat sie unendlich viele Lösungen.
Jede Lösung besteht aus zwei Werten – einem für x und einem für y – also einem
Zahlenpaar (x | y). Trägt man alle Lösungen ins Koordinatensystem ein,
liegen sie auf einer Geraden.
📘 Beispiel aus dem Buch (S. 8)
36 Jugendliche wollen sich auf 4er- und 6er-Tische verteilen, sodass alle Tische voll
sind. Mit x = Anzahl 4er-Tische und y = Anzahl 6er-Tische gilt
4x + 6y = 36. Lösungen sind z. B. (6 | 2)
oder (3 | 4). Löst man nach y auf, erhält man die Geradengleichung
y = −⅔x + 6.
2
Lineares Gleichungssystem (LGS)
Zwei solche Gleichungen zusammen bilden ein lineares Gleichungssystem. Die
Lösung ist das Zahlenpaar, das beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt –
grafisch ist das der Schnittpunkt der beiden Geraden. Weil zwei Geraden sich
schneiden, parallel sein oder aufeinander liegen können, hat ein LGS
genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen.
📘 Beispiel aus dem Buch (S. 11)
In einer Schale liegen Äpfel (x) und Birnen (y). Es gilt
y = x + 3 und y = 5 − x.
Jede Gleichung allein hat unendlich viele Lösungen, doch gemeinsam treffen sich die
Geraden in (1 | 4): also 1 Apfel und 4 Birnen.
3
Gleichsetzungsverfahren
Beide Gleichungen werden nach derselben Variablen aufgelöst (z. B. beide nach
y). Weil dann beide Terme gleich y sind, darf man sie gleichsetzen – und erhält
eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten.
📘 Beispiel aus dem Buch (S. 14)
I: y = 0,4x + 2 II: y = −0,6x + 6
Gleichsetzen: 0,4x + 2 = −0,6x + 6
Nach x auflösen: x = 4
In I einsetzen: y = 0,4·4 + 2 = 3,6
Lösung: (4 | 3,6).
4
Einsetzungsverfahren
Eine Gleichung wird nach einer Variablen aufgelöst, und dieser Term wird in die
andere Gleichung eingesetzt. So fällt eine Variable weg.
📘 Beispiel (nach dem Buch, S. 14)
I: 3x + y = 7 II: y = 2x + 2
II in I einsetzen: 3x + (2x + 2) = 7
Zusammenfassen: 5x + 2 = 7 → x = 1
In II: y = 2·1 + 2 = 4
Lösung: (1 | 4).
5
Additionsverfahren
Man addiert die beiden Gleichungen (notfalls vorher eine oder beide mit einer Zahl
multiplizieren), sodass sich eine Variable aufhebt. Das Buch zeigt das anschaulich
mit einer Waage: Legt man Gleiches zu Gleichem, bleibt sie im Gleichgewicht.
Aus den Aussagen zweier Schüler soll man herausfinden, wie viele Mädchen (m) und
Jungen (j) in der Klasse 9a sind. Man stellt zwei Gleichungen auf und löst das System –
Ergebnis: 18 Mädchen und 10 Jungen. Im 4. Schritt prüft man: ca. 28 Kinder pro
Klasse ist plausibel. ✔️
Übrigens (Exkursion, S. 28): Das funktioniert auch mit drei Gleichungen und drei
Variablen – das Prinzip „eine Unbekannte nach der anderen loswerden" bleibt gleich.
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Übungen – Rückblick & Training (S. 30/31)
Alle Aufgaben aus dem Buch zum Selberrechnen. Rechne erst auf Papier, dann klicke
auf „Lösung anzeigen" zum Kontrollieren. Die Wortaufgaben sind sinngemäß wiedergegeben.
✅ Geprüft: Alle Lösungen wurden mit den Buchlösungen auf S. 211 / 212 verglichen – sie stimmen vollständig überein.
🟦 Training – Runde 1
1
Stelle die Lösungsmenge im Koordinatensystem dar (bringe dazu jede Gleichung in die Form y = mx + b und zeichne die Gerade).
a) y = 2x + 1 b) 3y = 9x + 3
c) −4x + y = 0 d) y = −2,5
a) y = 2x + 1 (Steigung 2, Schnittpunkt y-Achse bei 1). b) 3y = 9x + 3 → y = 3x + 1. c) −4x + y = 0 → y = 4x (Ursprungsgerade). d)y = −2,5 (waagerechte Gerade). Jede Gerade ist die komplette Lösungsmenge.
2
Bestimme die Lösung grafisch (Schnittpunkt der Geraden). Rechnerisch ergibt sich:
a) y = 4x − 2 ; y = 5x − 3
b) −5y + x = −5 ; 4y = 2 + x
c) 5y − 2 − x = 0 ; 6y − x − 3 = 0
d) y − 2 − x = 7 ; y − x − 3 = 1
a) 4x − 2 = 5x − 3 → x = 1, y = 2 → (1 | 2). b) x = 5y − 5 und x = 4y − 2 → 5y − 5 = 4y − 2 → y = 3, x = 10 → (10 | 3). c) x = 5y − 2 und x = 6y − 3 → y = 1, x = 3 → (3 | 1). d) y = x + 9 und y = x + 4 → die Geraden sind parallel → keine Lösung.
3
Bestimme die Lösung rechnerisch.
a) y = 4x − 6 ; y = 5x + 7
b) 5x = −3y + 7 ; 5x = −4y + 7
c) 2x − 4y = 1 ; 3x + 2y = 6
d) 2x − 4y = −1 ; −3x + 2y = 6
a) 4x − 6 = 5x + 7 → x = −13, y = −58 → (−13 | −58). b) −3y + 7 = −4y + 7 → y = 0, dann 5x = 7 → x = 1,4 → (1,4 | 0). c) 2. Gleichung ·2: 6x + 4y = 12; dazu 2x − 4y = 1 addieren → 8x = 13 → x = 1,625;
y = 0,5625 → (1,625 | 0,5625). d) 2. Gleichung ·2: −6x + 4y = 12; dazu 2x − 4y = −1 addieren → −4x = 11 →
x = −2,75; y = −1,125 → (−2,75 | −1,125).
4
Das Dreifache einer Zahl plus das Vierfache einer zweiten Zahl ergibt 18. Zieht man vom Sechsfachen der zweiten Zahl das Fünffache der ersten ab, erhält man 8. Wie heißen die beiden Zahlen?
Gleichungen: 3a + 4b = 18 und 6b − 5a = 8.
Auflösen ergibt a = 2 und b = 3.
Probe: 3·2 + 4·3 = 18 ✔ und 6·3 − 5·2 = 8 ✔.
5
In einer Geldbörse steckt das Vierfache (400 %) des Betrages der anderen Geldbörse. Wie viel Geld ist in jeder Börse?
Eine Börse enthält das Vierfache der anderen. Aus der Abbildung im Buch ergibt sich ein
Gesamtbetrag von 30 €. Mit x = große Börse, y = kleine Börse:
x = 4y und x + y = 30 →
5y = 30 → y = 6, x = 24. In der einen Börse waren 24 €, in der anderen 6 €.
Der Gesamtbetrag 30 € stammt aus der Buch-Abbildung (Fig. 1).
🟪 Training – Runde 2
1
Bestimme die Lösung rechnerisch.
a) 6x + 4y = 14 ; −5x − 4y = −15
b) y = 1,5x − 4 ; x + y = 3
c) 3x + 5y = 2 ; x − 5y = 8
d) x = 2,5y − 0,2 ; 6y = 2x + 1,2
a) Addieren → x = −1, dann y = 5 → (−1 | 5). b) Einsetzen: x + 1,5x − 4 = 3 → x = 2,8; y = 0,2 → (2,8 | 0,2). c) Addieren → 4x = 10 → x = 2,5; y = −1,1 → (2,5 | −1,1). d) Einsetzen: 6y = 2(2,5y − 0,2) + 1,2 → y = 0,8; x = 1,8 → (1,8 | 0,8).
2
Lies den Schnittpunkt der beiden gezeichneten Geraden ab und überprüfe ihn durch Rechnung (Teil a und b). Die Graphen aus dem Buch sind hier nachgebaut:
a)
Blau: y = −x + 3 Grün: y = x + 1
b)
Blau: y = ⅓x + 1 Grün: y = 2x + 4
a) Abgelesener Schnittpunkt S(1 | 2). Probe durch Gleichsetzen:
x + 1 = −x + 3 → 2x = 2 → x = 1, y = 2. ✔ b) Abgelesener Schnittpunkt S(−1,8 | 0,4). Probe: ⅓x + 1 = 2x + 4 →
−⁵⁄₃x = 3 → x = −1,8, y = 0,4. ✔
Stimmt mit der Buchlösung auf S. 212 überein.
3
Zwei Zahlen haben zusammen die Summe 13, ihre Differenz beträgt 6. Wie heißen die Zahlen?
x + y = 13 und x − y = 6.
Addieren → 2x = 19 → x = 9,5; y = 3,5 → die Zahlen sind 9,5 und 3,5.
Probe: 9,5 + 3,5 = 13 ✔, 9,5 − 3,5 = 6 ✔.
4
Bei einem Jugendtreffen werden 12 Zelte aufgebaut: 3-Personen-Zelte (für die Mädchen) und 4-Personen-Zelte (für die Jungen). Alle Plätze sind belegt, insgesamt 43 Jugendliche. Wie viele Mädchen sind dabei?
d = Anzahl 3er-Zelte, v = Anzahl 4er-Zelte:
d + v = 12 und 3d + 4v = 43.
Lösung: d = 5, v = 7. Mädchen = 3·5 = 15 (und 28 Jungen).
Probe: 3·5 + 4·7 = 43 ✔.
Rückblick (S. 30): Diese Seite fasst noch einmal alles zusammen – die Definitionen,
die Tabelle „genau eine / keine / unendlich viele Lösungen" und je ein durchgerechnetes
Beispiel zu Einsetzungs-, Gleichsetzungs- und Additionsverfahren. Genau diese Verfahren
übst du oben in den Aufgaben.